חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 6 קיבול וחומרים דיאלקטרים

Transcript

1 חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 6 קיבול וחומרים דיאלקטרים בשיעור הקודם עסקנו רבות במוליכים ותכונותיהם, בשיעור הזה אנחנו נעסוק בתכונה מאוד מרכזית של רכיבים חשמליים. קיבול המטען החשמלי. את הקיבול החשמלי נגדיר מתוך בעיה פשוטה. נניח כי יש לנו שני מוליכים מופרדים מרחק, d נטו המטען על כל מוליך הוא אפס, ולשני המוליכים יש את אותו הפוטנציאל. זהו המצב ההתחלתי. כעת, אנו מעבירים מטען ממוליך אחד לשני, בדוגמא הנ"ל לקחנו מטען q מהמוליך הימני והעברנו אותו למוליך השמאלי. כעת בין המוליכים ישנו שדה חשמלי שמתחיל במוליך השמאלי ונגמר במוליך הימני. אם יש שדה חשמלי אז יש הפרש פוטנציאלים בגלל הגדרת השדה החשמלי E = φ. קיבלנו מצב שאם אנחנו מעבירים כמות q של מטען מצד אחד לשני אנו יוצרים מתח V בין המוליכים. היחס בין כמות המטען שצריך להעביר יחסית למתח שנוצר נקרא קיבול חשמלי C = q V היחידות של קיבול הן מטען חלקי מתח ונקראות פאראד F arad = Coulomb V olt 1

2 קבל לוחות מקרה פרטי מאוד חשוב של קבל, הוא קבל הלוחות. מדובר בסך הכל בשני לוחות מוליכים בעלי שטח A המופרדים זה מזה מרחק d. בעבור קבל לוחות הביטוי לקיבול הוא מאוד פשוט ותלוי אך ורק במאפיינים הגאומטרים של הקבל. C = ε 0A d אנרגיה של קבל האנרגיה של קבל מוגדרת לפי כמות העבודה שאנחנו צריכים להשקיע בכדי להביא כמות של q מטענים להדקי הקבל. U = 1 2 qv = 1 2 CV 2 תרגיל 1 נתון גליל חלול ארוך מאוד ומוליך ברדיוס b, על הגליל ישנו מטען. לתוך הגליל החלול מכניסים באופן קונצנטרי (לשני הגלילים מרכז משותף) גליל מוליך ברדיוס a וגובה hועליו מטען. האזור החופף בין הגלילים נסמן ב x. * בעבור השאלה הזאת נניח כי (x x, h) זאת אומרת שרוב הגליל הקטן נמצא בתוך הגליל הגדול ולכן נניח כי מטען נמצא כולו באזור B. 2

3 א. בהזנחת אפקטי שפה, מהו השדה החשמלי כפונקציה של r (המרחק מציר הסימטריה) בעבור a r b בכל אחד משלושת האזורים C) (A, B, המתוארים באיור? ב. מהו הקיבול של המערכת? ג. העזרו בשיקולי אנרגיה כדי לחשב את הכוח הפועל בין המוט לגליל. פתרון א. נסתכל על אזור A, נקח מעטפת גאוסית גלילית סביב הגליל, אך בגלל שאין בתוכו מטען אין שם שדה. באזור C, אין שום מטען שניתן ללכוד בתוך נפח הגליל הגדול ולכן גם שם אין שדה. באזור B יש מטען שנמצא על הגליל הקטן הוא יוצר שדה E 2πr x = ε 0 = E = 2πε 0 rx ˆr C, = q V המטען ידוע לנו וכל מה שאנחנו צריכים זה בעבור.a r b ב. ניזכר בהגדרה של קיבול את המתח בין שני הגלילים. 3

4 ˆb V = a ˆb E d l = a ˆr (dr ˆr) = 2πε 0 rx 2πε 0 x ˆb a dr r = ( ) b 2πε 0 x ln a המתח שקיבלנו שלילי וזה יצא כך בגלל שבדקנו את הפרש המתחים בין (b φ r) = לבין (a, φ r) = עשינו אינטגרל כנגד כיוון השדה ולכן המתח שלילי. כדי להציב במשוואת הקיבול, אנו ניקח את הערך המוחלט של המתח. C = q V = ln ( ) = 2πε 0x b 2πε 0 ln ( ) b x a a U = 1 ( 2 2 C = 2 ln b a) 4πε 0 x ג. נחשב את האנרגיה של הקבל נמצא את הכוח שפועל בין הגלילים ( U F = U = x = 2 ln b a) 4πε 0 x ˆx 2 הכוח מנסה להכניס את הגליל הקטן לתוך הגדול בגלל שזה המצב שבו המערכת תהיה במינימום אנרגיה. תרגיל 2 שתי דיסקות מוליכות בעלות רדיוס זהה של [cm], R = 15 נמצאות במרחק של [mm] 0.04 האחת מהשניה ומהוות קבל. מה קיבול הקבל בפיקו פאראד? פתרון C = ε 0A d 4

5 A = πr2 = π m2 ] d = [m F ] π [m π = ] [F ] = [F ] = 15, 640 [pf ] [m m ε0 = C תרגיל 3 קבל מורכב משתי קליפות מתכת בעלות מרכז משותף. הרדיוס הפנימי של הקליפה החיצונית הוא,a והרדיוס החיצוני של הקליפה הפנימית הוא.b חשב את קיבול הקבל. פתרון אנו יודעים שהשדה כתוצאה מקליפה כדורית טעונה הוא r 4πε0 r2 = ) E (r 5

6 והמתח בין הקליפה הפנימית לחיצונית ניתן לחישוב על ידי אינטגרציה על השדה החשמלי לאורך מסלול בין שתי הקליפות. V ab = ˆa 4πε 0 b 1 ˆr (dr ˆr) = r2 4πε 0 C = V = 4πε 0ab (b a) = 4πε 0ab b a ( 1 a 1 ) b והקיבול תרגיל 4 רוצים לתכנן קבל כדורי, שרדיוס הכדור החיצוני שלו b ושניתן יהיה לאגור בו את כמות האנרגיה המקסימלית בתנאי שעוצמת השדה על פני הכדור הפנימי לא תעלה על E. 0 איזה רדיוס a יש לבחור בעבור הכדור הפנימי, וכמה אנרגיה ניתן לאגור בקבל? פתרון דבר ראשון נתחיל מהתנאי בעבור עוצמת שדה מקסימלי E (a) = 4πε 0 a 2 ˆr E 0 = 4πε 0 a 2 = = E 0 4πε 0 a 2 כעת נמצא את הביטוי לאנרגיה לפי תוצאות השאלה הקודמת U = 1 2 CV 2 = 1 2 4πε ( ) 0ab b a 2 2 b a (4πε 0 ) 2 = ab ( ) 2 b a = 2 4πε 0 ab 6

7 U = (4πε 0) 2 a 4 E πε 0 נציב את הביטוי בעבור ( ) b a ab נכתוב את הרדיוס הפנימי ביחס לרדיוס החיצוני, דהיינו a = αb ( ) b αb U = 2πε 0 E0α 2 4 b 4 = 2πε αb 2 0 E0α 2 3 b 3 (1 α) כך ש > 0 α >.1 אנו רוצים להגיע למצב שבו האנרגיה מקסימלית, והמשתנה שלנו הוא α, נגזור את האנרגיה לפי α ונחפש מתי הנגזרת מתאפסת U α = 2πε 0 E 2 0b 3 [ 3α 2 4α 3] = 0 = 3 4α = 0 α = 3 4 ניתן לבצע נגזרת שניה ולבדוק שזה אכן מקסימום ולא מינימום. קיבלנו שבעבור a = 3 b אנרגיית הקבל מקסימלית, כעת נציב ערך זה במשוואה 4 לאנרגיה ונקבל את כמות האנרגיה בעבור הקבל. U = 2πε 0 E 2 0α 3 b 3 (1 α) = 2πε 0 E 2 0 = πε 0E 2 0b 3 ( ) 3 ( 3 b ) 4 4 7

8 חומרים דיאלקטרים עד עכשיו עסקנו בשני סוגי חומרים, הסוג הראשון פשוט לכד מטען ברחבי החומר עם התפלגות מטען מסוימת וזה מתאר מודל בסיסי מאוד של מבודד. חומר נוסף שעסקנו בו הוא המוליך החשמלי האידאלי, חומר שבו המטען חופשי לעבור ממקום למקום בצורה חופשית וללא שום התנגדות. משפחת החומרים שנעסוק בה היום, היא משפחת החומרים הדיאלקטרים. חומר דיאלקטרי מורכב מאוסף של הרבה דיפולים, שכאשר לא מופעל עליהם שדה חשמלי הם מכוונים בצורה אקראית במרחב ולכן נטו אין שום שדה חשמלי בחומר ) כל הדיפולים מבטלים אחד את השני). אך במצב בו אנו מפעילים שדה חשמלי חיצוני על החומר, הדיפולים מתחילים להסתדר בהתאם לכיוון השדה כמתואר באיור. כך שאפקטיבית נוצר לנו בתוך החומר שדה חשמלי P שמתנגד לשדה החשמלי החיצוני שהפעלנו עליו E וניתן לבטאו כך: D = ε0 E + P = ε0 E + χe ε 0 E = ε0 (1 + χ e ) E = ε 0 ε r E = ε E כאשר χ e נקרא הסוספטיביליות של החומר והוא אומר לנו עד כמה השדה בתוך החומר (כתוצאה מהסתדרות הדיפולים) מתנגד לשדה החשמלי שהפעלנו על החומר הדיאלקטרי. כמו כן מתוך הסוספטיביליות אנו יכולים להגדיר את המקדם הדיאלקטרי היחסי של החומר,ε r שהוא פשוט.ε r = 1 + χ e אנו מגדירים את הגודל הזה כדי לא לסחוב כל פעם את היחידה (ההשפעה של הריק) לכל חישוב. וכדי עוד יותר לפשט את הביטוי, אנו רושמים את המקדם הדיאלקטרי הכולל כך:.ε = ε 0 ε r 8

9 ומקבלים את סך ההשפעה של החומר על השדה החשמלי D = ε E כאשר D נקרא שדה ההעתקה החשמלי וכולל בתוכו את התיאור המלא של השדה בחומר, השדה החיצוני שפועל על החומר ותגובת הופלאריזציה של החומר עצמו. תרגיל 5 נתון כדור מתכתי ברדיוס a, עליו מטען. הכדור מוקף בחומר בעל מקדם דיאלקטרי ε ברדיוס b כמתואר באיור. מצא את הפוטנציאל במרכז הכדור ביחס לאינסוף. פתרון בשביל לחשב את הפוטנציאל, אנו צריכים לדעת את השדה החשמלי במרחב ומתוך כך לחשב את הפוטנציאל. נתחיל במציאת שדה ההעתקה ( החשמלי מתוך חוק גאוס, ישנה סימטריה כדורית ε ) בשאלה ולכן זה מותר = 0 E. DdS = 4πr 2 D = = D = 9 4πr 2 ˆr, r > a

10 נעבור לשדה חשמלי E (r) = 0 ˆr 4πεr 2 4πε 0 r 2 ˆr, r < a, a < r < b, b < r ˆ0 V = = 4π ˆb E d l = ( 1 ε 0 b + 1 εa 1 εb ( 4πε 0 r 2 ) ) ˆa dr b כעת נרשום את הפוטנציאל ( ) ˆ0 dr 4πεr 2 a (0) dr = 10